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你了解实数吗?实数到底有多少个?

来源:百盛娱乐官网 | 时间:2018-11-12

  原文作者:Keith Devlin, 英国数学家和科普作家,斯坦福大学数学教授

  实数有多少个呢?一种回答是:“无穷多个”。由于康托证明了实数轴——即连续统-——不能和自然数有一一对应,于是能得到更好一些的回答是,“不可数多个”。但我们能更精确一些吗?康托引进了一种度量无穷集合个数的方法:使用阿列夫数。阿列夫是一个希伯来字母,康托用它来表示无限集合的个数(阿列夫“ℵ”这个号很多时候在网页上都打不出来)。他把所有的无限集合的个数都用这样的无限数量(基数)进行了分层,ℵ0(第一个无穷基数,自然数集的数量),ℵ1(第一个不可数基数),ℵ2,等等。

  无穷基数和有限的自然数一样,可以做加法和乘法,只是比自然数的加法和乘法容易得多。两个无穷基数相乘或者相加,都等于这两个中最大的那个。

  我们也能把任何一个有限或无限的基数来计算它的幂。这样问题瞬间变得不那么容易了。我们来看一个相对最简单的情况,如果κ(西腊字母,Kappa)是一个无穷基数,那么2^κ(2的κ次幂,即κ基数集合的幂集的基数)的值是多少?康托证明了这个幂一定比κ本身大,但这也就是他得到的最深的结果了。特别的,他无法表明2^ℵ0是否等于ℵ1。

  [哆嗒数学网强力纠正一个网上的常见错误:很多人,甚至包括一些数学系学生、数学老师、科普作家,都自然的认为ℵ1表示实数的基数。但这在集合论看来,是不对的。ℵ1表示的是最小的不可数基数,而非实数基数。而实数基数一般使用的符号是c或者不带任何下标的符号ℵ。可以证明的是c=2^ℵ0>

  ℵ0。同时,集合论已经证明,基数具有良序性质,这意味着大于ℵ0的所有基数中,一定有一个最小的基数,这个基数用ℵ1表示。所以ℵ0和ℵ1之间没有其他基数从定义上看就是显然的。而连续统假说的是,c和ℵ0之间有没有其他基数,如果没有就意味着c恰好是那个最小的不可数基数,即,c=ℵ1,这就是连续统假设。就是说当你说实数基数是ℵ1的时候,就承认了连续统假设,这个理解至少是不完整的。当然以上文字,都是在ZFC系统下说的。关于这个常见错误,连wiki都看不下去了,在Aleph Number词条下留下这句话: In popular books ℵ1 is sometimes incorrectly defined to be 2^ℵ0, but this is wrong if the continuum hypothesis fails.(在一些普及读物中ℵ1 有时被错误的定义为2^ℵ0,但如果不承认连续统假设,这是错误的。)]

  这个问题有何意义呢?在数学其它地方,已经证明了2^ℵ0正好是连续统的个数,即实数的个数。由于康托能证明有理数的大小是ℵ0,那接下来一个自然的问题,实数到底有多少个?这样的问题不能回答是让人沮丧的。希尔伯特也在1900年,把它列入了他《数学问题》中的23个问题之一。

  命题2^ℵ0=ℵ1的就是著名的连续统假设。它和选用的构造无限集合的公理体系密切相关。这个公理体系是由策梅罗和弗兰克尔在20世纪初建立的,叫做ZF公理体系,是被数学界普遍接受的。1936年,哥德尔用他的证明震惊了数学界。他证明了ZF公理体系是不能证明连续统假设是一个假命题的。

  其实,部分逻辑学家、一些实分析学家,以及大部分数学家并不关心连续统假设是真是假。所以,让人震惊的并不是这个结果本身。让大家惊奇的是,哥德尔发现了一种证明手段,可以证明一些数学命题是不能被证明的。(注意,哥德尔证明的是连续统假设不可能在ZF公理体系下被证明是假的,但这并不意味着连续统假设可以在这个体系下被证明是真的。他没有一个证明它是真命题的逻辑推导。)于是,大家知道了连续统假设不可能被证明是假命题,研究转向去证明它是真命题。但这样的研究是徒劳的,1963年寇恩的证明告诉了大家,为什么之前的研究是徒劳的。寇恩用他发明的力迫法证明了连续统假设也不可能被证明是真命题(在ZF公理体系的框架下)。于是这个假设是不可判定的。因为这个发现,寇恩还在1966年获得菲尔兹奖。

  当然,一个很自然的想法。我们想在ZF公理体系下增加一些公理,让连续统假设变得可以判定是真是假。的确有很多数学家做了这样的工作,但都没有成功。问题在于,我们试图为所有的数学分支提供一个统一的集合论的基础框架(这个框架包含算术系统),框架中的公理要被大家接受,还必须看上去是“显然的”。没人能找到这样的公理。有一种我个人觉得很吸引人的公理叫做构造性公理(我博士期间是研究集合论和无穷基数算术的,我研究生涯的前15年都在搞那个)。

  这个公理是哥德尔发现的。哥德尔用它来证明了连续统假设在ZF公理体系下不是假命题。虽然哥德尔不建议让它成为一个集合论的公理,但我觉得它还是比较“自然”,能成为一条公理。不是因为我相信那个是“真”的。当我们在无限集合上讨论数学时,我认为不应该较真公理的对错。甚至,我觉得科恩的结果(以及很多之后的结果)向我们表明的原始信息应该是:我们在选择集合论的公理时,应该务实一点。由于集合论的终极目的是为数学提供一个普遍的根基,我可以提出(事实上在1977年我已经提出过)一个非常好的支持将构造公理纳入公理体系的论点。(我把这个观点写进了我的专著《The Axiom of Constructibity: A Guide for the Mathematician》,于1977年在Springer-Verlag出版。) 如果构造性公理被假定成立(作为一条新的公理,加到ZF公理体系里),就可以证明连续统假设是真命题。由于各种原因,很多数学家不支持我以及其他支持构造公理体系的人的观点。但没有一个人提出一个我认为令人信服的反对理由。至少,在那个时候没有。

  1986年,情况发生了改变。Freiling在《符号逻辑杂志》(Journal of Symbolic Logic)上发表了一个有趣的文章,题目叫《公理的对称性:往实直线上投飞标》。在文章中,Freiling提出了下面这个假想实验。你我两人向一个飞标靶子投掷飞标。我们之间隔了一个屏风,所以我们之间互不影响。当我们收到一个来自第三方的信号的时候,我们一起向靶子投掷飞镖。我们投掷的结果完全是随机的。(形式上,由于靶子上的点可和实数产生一一对应,所以我们两个人可以简单的看成两个独立的随机数发生器。)那谁是赢家呢?恩,实验的组织者把所有实数排成一个良序(即把靶子上的点排成良序),记为“

  好的,再多说几句。假如连续统假设成立。实验的组织者可以把这个良序排成这样:对任意实数x,集合{rr

  所以,我的观点是,从直观的层面上考虑,肯定要让连续统假设是一个假命题。当一个数学家发现他在支持两个互相矛盾的命题的时候,他显然是当系主任或者院长太长时间了。是时候放弃职位而继续前进了。你知道吗?我这样做了。请注意我的联系地址已经变了。

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