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微积分的萌芽、创立、完备与无穷小、极限、实数连续性的定义

来源:百盛娱乐官网 | 时间:2018-11-26

  中国名家代表人物惠施(约公元前370-公元前310),他的许多记录于《庄子》的言论有微积分思想的萌芽:一尺之棰,日取其半,万世不竭、至 大无外谓之大一,至小无内谓之小一、无厚不可积也,其大千里。

  在有了极限的定义之后,为了判断具体某一数列或函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后,终于由法国数学家柯西(Cauchy)提出柯西收敛原理。

  第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于,将微积分建立在极限理论的基础上。维尔斯特拉斯的贡献在于逻辑地构造了实数论。为此,建立分析基础的逻辑顺序是:实数系→极限论→微积分。

  什么叫一一对应?一条数轴上有无数个点,可以说是密密麻麻的,实数有无数个,数都数不清楚。有理数和无理数构成实数,在直线上取定一个原点,一个单位长和一个方向,直线就成了数轴。因此,数轴上的每个点代表一个实数,每个实数都可以用数轴上的一个点表示。实数可以连续变化,就是说点可以在数轴上连续地运动。

  如整数由小到大的变化是跳跃式的,从整数1到整数2,中间没有任何整数;但有理数从1变到2,它们之间是密密麻麻的,跨过了许多分数,看上去找不到一段空白,中间似乎没有跳跃。事实上有理数从1变到2并非连续地变化,因为中间跨过了许多无理数,如2的算术平方根。

  无理数是什么?法国数学家柯西给出了回答:无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义,所谓有理数序列的极限,意即预先存在一个确定的数,使它与序列中各数的差值,当序列趋于无穷时,可以任意小。但是,这个预先存在的数,又从何而来呢?在柯西看来,有理序列的极限,似乎是先验地存在的。这表明,柯西尽管是那个时代大分析学家,但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。

  魏尔斯特拉斯首先承认十进制有限小数和无限循环小数是有理数,而十进制无限非循环小数则是无理数。但为什么十进制无限非循环小数是无理数呢?这里不可避免地涉及到极限问题。在有了柯西准则之后,我们可以从数列极限或无穷级数之和来理解十进制无限非循环小数。但在建立实数系之前是不能如此理解的。因此,为了避免逻辑上的循环定义,在将十进制无限非循环小数定义为无理数时,一开始不可能将它看成是一个无穷级数的和,而只是将它看成一个纯粹的记号,一个还不清楚有什么意义的数学对象。然后在所有十进制小数全体组成的集合内引入加法、乘法运算,并规定其中任何两个小数之间的序,并验证它满足域公理、序公理、阿基米德公理和连续性公理这4组公理。当然这里需要经过很多步骤的推论。

  从逻辑上,应该是先建立了实数,有了实数的定义之后,再得出实数系的基本定理,从而能够在实数域上建立起严格的极限理论,最后得到严格的微积分理论。但数学历史的发展恰恰相反,最先产生的是微积分理论,而严格的极限理论是在19世纪初才开始建立的,实数系的基本定理已经基本形成了之后,19世纪末实数理论才诞生,这时分析的算数化运动才大致完成。

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